Helbring Schültz: Publikationen
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- Ist 0-Fakultät wirklich 1?
- Is 0-Faculty Really 1? [English]
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Ist 0! (gelesen "null-Fakultät") wirklich 1?
In Nachschlagewerken wird die mathematische Funktion "n-Fakultät" z. B. so beschrieben, wie folgend aus Meyers Großem Rechen Duden zitiert:
"Fakultät, n! (gelesen: "n-Fakultät").
Für positive ganze Zahlen n nennt man das Produkt der n Zahlen "n-Fakultät" und schreibt n!=1*2*3 ........ (n-1)*n.
Für n=0 definiert man 0! = 1.
Beispiel: 1!=1=1 3!=1*2*3 = 6
2!=1*2=2 ................
Für große Zahlen kann näherungsweise n! = nn*e-n*sqrt(2*Pi*n) gesetzt werden (Stirlingsche Formel)".
0!=1, ist eine Konvention ohne mathematischen Beweis und ist somit nicht zwingend eine richtige Aussage.
Folgende Überlegungen machen für 0! das Ergebnis 0 wahrscheinlich:
Lässt man in der Beziehung
x von 0 bis n gehen und erstellt mit den gewonnenen Wertepaaren einen Graphen y über x , dann weist dieser Graph bei x=n gemäß der bisherigen Definition für 0!=1 eine Unstetigkeit auf. Für 0!=0 wäre hingegen ein kontinuierlicher Verlauf gewährleistet.
Beispiel für n=5 und x = 0,1, ... 5
Gemäß geltender Definition wird im Nenner N für 0!=1 gesetzt. Daraus folgt für die Stellen x=4 und x=5 derselbe Zahlenwert 120 für y, und ergibt im Verlauf des Graphen eine Unstetigkeit. Diese ist durch die gestrichelte Linie dargestellt. Wird aber im Nenner N für 0!=0 gesetzt, dann strebt der Graph in der y-Richtung gegen unendlich , so dass der vorgegebene Verlauf des Graphen richtungsgerecht fortgesetzt wird. Siehe Graph.
Dieses Verhalten kann für beliebig viele n, z. B. für n=8 mit der Unstetig-keitsstelle bei y=40.320, oder für n=10 mit der Unstetigkeitsstelle bei y=3.628.800, usw. eindeutig nachvollzogen werden.
Auf Grund dieser Betrachtung dürfte die Feststellung 0! = 0 wahrscheinlicher sein als die bisherige Definition 0! = 1. Somit könnte die richtige Antwort auf die in der Überschrift gestellte Frage lauten: 0! "nicht-gleich" 1. Darüberhinaus kann das eindeutige Ergebnis aus obiger Abhandlung als zutreffend dafür gewertet werden, dass 0! = 0 ist.
